貝氏定理應用

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title: “Bayes’ Rule Example”
tags: 貝氏定理, machine learning

貝氏定理應用

透過檢驗HIV的範例來了解貝氏定理的應用。

首先我們知道用ELISA檢驗HIV的機率分別為

  • True Positive, P(+ | has HIV): 0.93
  • True Negative, P(- | no HIV): 0.99

同時也知道得到HIV的機率為

  • P(HIV): 0.00148

想要知道檢驗結果為＋的情況下，也的確有HIV的機率為多少，即P(has HIV | +)。

  • P(HIV) = 0.00148
    • P(+ | HIV) = 0.93
    • P(- | HIV) = 0.07
  • P(no HIV) = 0.99852
    • P(+ | no HIV) = 0.01
    • P(- | no HIV) = 0.99

套用貝氏定理P(B|A) = P(A, B) / P(A)，也就是

  • P(HIV | + ) = P(HIV, +) / P(+)

  • P(HIV, +) 表示兩者同時發生的機率，0.00148 * 0.093 = 0.0013764

  • P(+) 就是所有檢驗出來為＋的機率，包含有ＨＩＶ檢驗出為＋的0.0013764與沒有ＨＩＶ卻檢驗出為＋的0.99852*0.01 = 0.0099852，故P(+)為0.0013764+0.0099852 = 0.0113616
  • P(HIV | + ) = 0.0013764 / 0.0113616 = 0.12

所以透過ELISA檢驗為＋的情況下，實際得到HIV的機率也只有0.12。

這時候，如果有人被檢驗出為＋，去檢查第二次又是＋，那他實際得到HIV的機率會變多少呢？因為是檢驗第二次了，我們已經得知他的

  • P(has HIV) = 0.12
  • P(no HIV) = 0.88
  • P(HIV, +) = 0.12 * 0.93 = 0.1116
  • P(+) = 0.12 0.093 + 0.88 0.01 = 0.1204
  • P(HIV | + ) = 0.1116 / 0.1204 = 0.93

如果兩次檢驗都是＋，就比較中獎機率高達93%，如果三次都是＋的話…